# ¿Cómo elaborar una tabla de la verdad? - Lógica proposicional
¡Hola! En este artículo aprenderás cómo crear una tabla de verdad.
## 1. ¿Qué necesitamos?
Para empezar a hacer la tabla de la verdad necesitaremos una expresión de lógica proposicional, en este artículo vamos a usar esta: **[(p⇒q)∧(¬p⇒r)∧(p∨¬p)]⇒q∨r**
## 2. ¿Cómo operar?
V = Verdadero
F = Falso **Negación**: **¬p** es falso si **p** es verdadero y viceversa | p | ¬p | |---|----| | V | F | | F | V | **Conjunción**: Equivale a la conjunción **y**. El resultado de la conjunción solo es verdadero cuando las proposiciones que la forman son verdaderas. | p | q | p∧q | |---|---|-----| | V | V | V | | V | F | F | | F | V | F | | F | F | F | **Disyunción**: Equivale a lo conjunción disyuntiva **o**, pero en sentido no excluyente. Un enunciado disyuntivo es verdadero cuando al menos uno de sus valores lo es. | p | q | p∨q | |---|---|-----| | V | V | V | | V | F | V | | F | V | V | | F | F | F | **Condicional**: Equivale al relacionante condicional **si..., entonces...** La primera de las proposiciones se denomina antecedente y la segunda, consecuente. Es verdadero siempre, excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. | p | q | p⇒q | |---|---|-----| | V | V | V | | V | F | F | | F | V | V | | F | F | V | **Bicondicional**: Equivale a un **si y solamente si**. Expresa la coimplicación entre dos proposiciones. El resultado es verdadero cuando p y q tienen el mismo valor. | p | q | p⇒q | |---|---|-----| | V | V | V | | V | F | F | | F | V | F | | F | F | V | ## 3. Construir la tabla Primero necesitaremos saber cuántas **variables proposicionales** hay, en nuestro caso son p, q y r, pero podría haber muchas más. El número de filas que tendrá nuestra tabla será igual a 2 elevado al número de variables proposicionales, por tanto, en nuestra tabla, nº de filas = 23 = 8. En segundo lugar tendremos que dividir nuestro enunciado en proposiciones más sencillas como las del apartado 2. **[(p⇒q)∧(¬p⇒r)∧(p∨¬p)]⇒q∨r** se quedaría así: p
q
r
¬p
p⇒q
¬p⇒r
(p⇒q)∧(¬p⇒r) //Unimos las dos proposiciones anteriores
p∨¬p
(p⇒q)∧(¬p⇒r)∧(p∨¬p) //Unimos las dos proposiciones anteriores
q∨r
[(p⇒q)∧(¬p⇒r)∧(p∨¬p)]⇒q∨r //Unimos las dos proposiciones anteriores Para construir nuestra tabla empezaremos por las variables proposicionales. Las dispondremos en el orden con el que aparecen en el enunciado (en nuestro caso p, q, r), y comenzaremos por la última (r) añadiéndole a la primera celda el valor de V e iremos alternando con F. Después continuaremos con la columna de la q, y en vez de ir alternando de 1 en 1, colocaremos los valores de 2 en 2. Y finalmente, añadiremos los valores de la columna de p, pero esta vez de 4 en 4. Nótese que el número de celdas seguidas con el mismo valor es potencia de 2 y cumple con lo siguiente: Si asignamos un valor desde el final a cada variable aleatoria (r=0, q=1 y p=2), el número de celdas seguidas con el mismo valor será 2 elevado al valor asignado, es decir, con r la alternancia será de 20=1, con q de 21=2, y con p de 22=4.
Fíjate en que incluso ¬p lleva paréntesis, si se quitasen no funcionaría.
F = Falso **Negación**: **¬p** es falso si **p** es verdadero y viceversa | p | ¬p | |---|----| | V | F | | F | V | **Conjunción**: Equivale a la conjunción **y**. El resultado de la conjunción solo es verdadero cuando las proposiciones que la forman son verdaderas. | p | q | p∧q | |---|---|-----| | V | V | V | | V | F | F | | F | V | F | | F | F | F | **Disyunción**: Equivale a lo conjunción disyuntiva **o**, pero en sentido no excluyente. Un enunciado disyuntivo es verdadero cuando al menos uno de sus valores lo es. | p | q | p∨q | |---|---|-----| | V | V | V | | V | F | V | | F | V | V | | F | F | F | **Condicional**: Equivale al relacionante condicional **si..., entonces...** La primera de las proposiciones se denomina antecedente y la segunda, consecuente. Es verdadero siempre, excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. | p | q | p⇒q | |---|---|-----| | V | V | V | | V | F | F | | F | V | V | | F | F | V | **Bicondicional**: Equivale a un **si y solamente si**. Expresa la coimplicación entre dos proposiciones. El resultado es verdadero cuando p y q tienen el mismo valor. | p | q | p⇒q | |---|---|-----| | V | V | V | | V | F | F | | F | V | F | | F | F | V | ## 3. Construir la tabla Primero necesitaremos saber cuántas **variables proposicionales** hay, en nuestro caso son p, q y r, pero podría haber muchas más. El número de filas que tendrá nuestra tabla será igual a 2 elevado al número de variables proposicionales, por tanto, en nuestra tabla, nº de filas = 23 = 8. En segundo lugar tendremos que dividir nuestro enunciado en proposiciones más sencillas como las del apartado 2. **[(p⇒q)∧(¬p⇒r)∧(p∨¬p)]⇒q∨r** se quedaría así: p
q
r
¬p
p⇒q
¬p⇒r
(p⇒q)∧(¬p⇒r) //Unimos las dos proposiciones anteriores
p∨¬p
(p⇒q)∧(¬p⇒r)∧(p∨¬p) //Unimos las dos proposiciones anteriores
q∨r
[(p⇒q)∧(¬p⇒r)∧(p∨¬p)]⇒q∨r //Unimos las dos proposiciones anteriores Para construir nuestra tabla empezaremos por las variables proposicionales. Las dispondremos en el orden con el que aparecen en el enunciado (en nuestro caso p, q, r), y comenzaremos por la última (r) añadiéndole a la primera celda el valor de V e iremos alternando con F. Después continuaremos con la columna de la q, y en vez de ir alternando de 1 en 1, colocaremos los valores de 2 en 2. Y finalmente, añadiremos los valores de la columna de p, pero esta vez de 4 en 4. Nótese que el número de celdas seguidas con el mismo valor es potencia de 2 y cumple con lo siguiente: Si asignamos un valor desde el final a cada variable aleatoria (r=0, q=1 y p=2), el número de celdas seguidas con el mismo valor será 2 elevado al valor asignado, es decir, con r la alternancia será de 20=1, con q de 21=2, y con p de 22=4.
| p | q | r | ¬p | p⇒q | ¬p⇒r | (p⇒q)∧(¬p⇒r) | p∨¬p | (p⇒q)∧(¬p⇒r)∧(p∨¬p) | q∨r | [(p⇒q)∧(¬p⇒r)∧(p∨¬p)]⇒q∨r |
|---|---|---|----|-----|------|--------------|------|---------------------|-----|---------------------------|
| V | V | V | | | | | | | | |
| V | V | F | | | | | | | | |
| V | F | V | | | | | | | | |
| V | F | F | | | | | | | | |
| F | V | V | | | | | | | | |
| F | V | F | | | | | | | | |
| F | F | V | | | | | | | | |
| F | F | F | | | | | | | | |
Ahora operaremos en cada una de las columnas según hemos visto en el paso 2. Y este es el resultado:
| p | q | r | ¬p | p⇒q | ¬p⇒r | (p⇒q)∧(¬p⇒r) | p∨¬p | (p⇒q)∧(¬p⇒r)∧(p∨¬p) | q∨r | [(p⇒q)∧(¬p⇒r)∧(p∨¬p)]⇒q∨r |
|---|---|---|----|-----|------|--------------|------|---------------------|-----|---------------------------|
| V | V | V | F | V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | F | V | V | V | V | V | V | V |
| V | F | V | F | F | V | F | V | F | V | V |
| V | F | F | F | F | V | F | V | F | F | V |
| F | V | V | V | V | V | V | V | V | V | V |
| F | V | F | V | V | F | F | V | F | V | V |
| F | F | V | V | V | V | V | V | V | V | V |
| F | F | F | V | V | F | F | V | F | F | V |
En este caso nuestro enunciado es verdadero para todos los casos posibles, ya que todos valores de la columna final lo son, a esto se le llama **tautología**. Si al final nos hubiese salido todo falso, es decir lo opuesto a la tautología, diriamos que es una **contradicción**. Y si nos hubiesen salido valores verdaderos y falsos, o sea que no fuese ni tautología ni contradicción, diríamos que es una **contingencia**.
## 4. ¿Qué más?
Ahora solo queda practicar, si quieres comprobar tus resultados, te recomendamos emplear un generador de tablas de verdad. Ahí hay que tener cuidado al introducir el enunciado, ya que el orden con el que se elaborará la tabla irá determinado por paréntesis, que además indicarán la separación entre operaciones básicas como las del paso 2. De manera que el enunciado que hemos usado en este artículo se quedaría en **(((p⇒q)∧((¬p)⇒r))∧(p∨¬p))⇒(q∨r)**.Fíjate en que incluso ¬p lleva paréntesis, si se quitasen no funcionaría.